Unidad no. 3: Trigonometrìa.

TRIGONOMETRÌA

Identidades Trigonométricas.

Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define cos²α, sen²α, otros; tales que sen²α es (sen α)².

Figura: Diagrama de relaciones entre funciones trigonométricas.

Relaciones básicas

Relación pitagórica	$\operatorname{sen}^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\,$
Identidad de la razón	$\tan \theta = \frac{\operatorname{sen} \theta}{\cos \theta}$

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si $\scriptstyle\operatorname{sen} \theta \,=\, 1/2$ , la conversión propuesta en la tabla indica que $\scriptstyle\cos\theta\,=\,\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} = \sqrt{3}/2$ , aunque es posible que $\scriptstyle\cos\theta \,=\, -\sqrt{3}/2$ . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Tabla de Funciones trigonométricas
sen	$\operatorname{sen} \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\csc \theta}$
cos	$\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
tan	$\frac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
cot	${\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} \over \operatorname{sen} \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	${1 \over \tan\theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
sec	${1 \over \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$	$\sec\theta\$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
csc	${1 \over \operatorname{sen} \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\tan{x} = \frac {\operatorname{sen}{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\operatorname{sen}{x}}$

$\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\operatorname{sen}{x}}$

La siguiente relación: $\operatorname{sen}^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1$

es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos²x, se tiene:

$\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)$

Si ahora dividimos ambos miembros por sen²x, obtenemos:

$\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)$

Ejercicios resueltos:

En los siguientes ejemplos vamos a demostrar algunas identidades trigonométricas:

Ejemplo1. Demostrar que:

Solución:

Ejemplo2. Demostrar que:

Solución:

Ejemplo3. Demostrar que:

Solución:

Ejemplo 4. Demostrar que:

Solución:

Ejemplo 5. Demostrar que:

Solución:

Observe que en cada una de las demostraciones anteriores:

Se inició en el lado más complejo.
Se efectuaron las operaciones básicas.
Se hizo uso de la factorización
Se emplearon identidades fundamentales.

Suma y Diferencia de Ángulos.

Fórmulas de suma y diferencia de ángulos:

Si se tienen dos àngulos agudos consecutivos α y β, de dos triàngulos rectàngulos (como muesra la figura anterior), donde la hipotenusa de uno de ellos es a la vez cateto del otro , se cumplirà:

sen ( α + β ) = senα cosβ + cosα senβ

sen (α – β ) = senα cos β - cosα senβ

cos ( α + β ) = cosα cosβ – senα senβ

cos ( α – β ) = cosα cosβ + senα senβ

tan ( α + β ) = tanα + tanβ

1 - tanα.tanβ

tan ( α – β ) = tanα - tanβ

1 + tanα.tanβ

Ángulo Doble y Àngulo Mitad.

Identidades del ángulo doble:

Estas se pueden obtener haciendo a β = α en las identidades de suma de dos ángulos.

Ángulo doble:

$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\ \cos\alpha$

$\cos2\alpha = \cos^2\alpha\ - \sin^2\alpha$

$\tan2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

Razones trigonométricas del ángulo mitad

Se obtienen sustituyendo el ángulo α por α/2 en la identidad del coseno del ángulo doble:

$sen \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{2}}$

$cos \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1+cos \, \alpha}{2}}$

$tg \, \Big( \cfrac{\alpha}{2} \Big) = \sqrt{\cfrac{1-cos \, \alpha}{1+cos \, \alpha}}$

Ecuaciones Trigonométricas.

Una ecuación trigonométrica es aquella en la que las variables o incógnitas aparecen formando parte de los argumentos (àngulos) de funciones trigonométricas.

Las estrategias a seguir para resolver estas ecuaciones son muy diversas: cambio de variable, factorizaciòn, uso de identidades trigonométricas fundamentales y de fórmulas trigonométricas, etc.

Ejemplos: Ecuaciones trigonométricas

1. Resuelve: $2 \, tg \, x - 3\, cot \, x - 1=0$

Transformamos la ecuación de partida:

$2 \, tg \, x - \cfrac{3}{tg \, x} - 1=0$

$2 \, tg^2 \, x - tg \, x - 3=0$

Hacemos un cambio de variable: $z= tg \, x$

$2z^2- z - 3=0 \,$

$z=\cfrac{1 \pm \sqrt{1+24}}{4}=\cfrac{1 \pm 5}{4}= \begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2}\\ z_2=-1 \end{cases}$

$\begin{cases} z_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow tg \, x_1=\cfrac{3}{2} \rightarrow x_1 = arctg \, \cfrac{3}{2}=56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k\\ z_2=-1 \rightarrow tg \, x_2=-1 \rightarrow x_2 = arctg \, -1=135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

Soluciones:

$\begin{cases} x_1 =56^\circ \, 18' \, 35'' + 180^\circ \cdot k\\x_2=135^\circ + 180^\circ \cdot k\end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

2. Resuelve: $cos^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

Usando la identidad fundamental:

$sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \rightarrow cos^2 \, x = 1 - sen^2 \, x$

Sustituimos en nuestra ecuación de partida:

$1-sen^2 \, x - 3\, sen^2 \, x =0$

$1-4 \, sen^2 \, x =0 \rightarrow sen^2 \, x =\cfrac{1}{4}\rightarrow sen \, x =\pm \cfrac{1}{2}$

Soluciones:

$x=\begin{cases} arcsen \, \cfrac{1}{2}= \begin{cases} x_1 =30^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_2 =150^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \\ arcsen \, -\cfrac{1}{2}= \begin{cases} x_3 =210^\circ + 360^\circ \cdot k \\ x_4 =330^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} x_2=135^\circ + 180^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

3. Resuelve: $sen^2 \, x - cos^2 \, x = \cfrac{1}{2}$
Multiplicamos los dos miembros por -1:

$cos^2 \, x - sen^2 \, x = -\cfrac{1}{2} \rightarrow cos \, 2x=-\cfrac{1}{2}$

$2x=\begin{cases} 120^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 240^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

Soluciones:

$x= \begin{cases} \, 60^\circ + 360^\circ \cdot k \\ 120^\circ + 360^\circ \cdot k \end{cases} \, , \quad k \in \mathbb{Z}$

Ejercicios resueltos:

Para la solución utilizaremos la siguiente tabla:

Tabla de valores de funciones de ángulos notables

	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\infty$