Idea de Transformaciòn Geomètrica.
Figura: Traslación del triángulo ABC, según el vector guía v.
Transformación geométrica es una aplicación del plano que permite obtener una nueva figura a partir de una figura dada, tal que a cada punto de la figura original se le hace corresponder otro punto del mismo plano en la figura transformada.
La figura que se obtiene luego de una transformación geométrica se denomina Figura Homòloga, al igual que todos los elementos que la componen.
Figura: El triàngulo A'B'C' es el homòlogo del triàngulo ABC,
después de la rotación de centro 0 y ángulo 900
después de la rotación de centro 0 y ángulo 900
Clasificación:
Figura: Simetría del triàngulo ABC con respecto al eje e.
Las transformaciones geomètricas pueden clasificarse de acuerdo al tipo de cambio que se produce en la figura transformada. Estas son:
ISOMÉTRICAS: También llamadas movimientos. Son aquellas que conservan las medidas de los segmentos y de los ángulos de la figura original y su transformada (SIMETRÌA, TRASLACIÓN Y ROTACIÒN).
ISOMÓRFICAS: Son aquellas que conservan las formas, pero no conservan las medidas. Se pueden establecer relaciones de proporcionalidad entre dos figuras transformadas (HOMOTECIA).
ANAMÓRFICAS: Son las transformaciones que no conservan las formas (INVERSIÓN).
Transformaciones Isomètricas.
En geometría, las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: simetría, traslaciòn y rotaciòn.
SIMETRÌA
Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central y axial .
Simetrìa central:
La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones:
a) El punto y su imagen estén a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.
b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenezcan a una misma recta.
Figura: Simetrìa central respecto al punto o.
Simetrìa axial:
La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:
a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.
b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.
Figura: Simetrìa axial respecto al eje L.
TRASLACIÒN
La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición, es el cambio de lugar, determinada por un vector.
Se llama traslación de vector a la isometría que a cada punto A del plano le hace corresponder un punto A' del mismo plano tal que AA' es igual a u (vector guìa).
Las traslaciones están marcadas por tres elementos: La dirección, si es horizontal, vertical, oblicua, el sentido, si es derecha, izquierda, arriba o abajo, y la magnitud del desplazamiento que se refiere a cuanto se desplazó la figura en una unidad de medida. Esto hace referencia exclusivamente a las traslaciones isométricas.
Figura: Traslaciòn del triàngulo ABC segùn vector guìa u.
ROTACIÒN O GIRO
Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:
-Un punto denominado centro de rotación.
-Un ángulo.
- Un sentido de rotación.
Estas transformaciones pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro. Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas.
Figura: Rotaciòn del triàngulo ABC 900 en sentido positivo.
Isomètricas en el plano cartesiano.
SIMETRÍA CENTRAL
TRASLACIÓN
R(0,900)C = R(0,900)(2, 4) = (-4, 2) = C'
Todo punto del plano cartesiano A(x, y) tiene su simétrico A’(-x, -y) con respecto al origen O(0,0).
Ejemplo: Dado el punto A(-2, 5), el simètrico con respecto al origen es A'(2, -5).
SIMETRÍA AXIAL
Todo punto del plano cartesiano A (x, y) tiene un simétrico A’ (x, -y) con respecto al eje de las abscisas (X).
Ejemplo: Dado el punto A(-2, 5), el simètrico con respecto al eje X es A'(-2, -5).
Todo punto del plano cartesiano A (x, y) tiene un simétrico A’ (-x, y) con respecto al eje de la ordenada (Y).
Ejemplo: Dado el punto A(-2, 5), el simètrico con respecto al eje Y es A'(2, 5). TRASLACIÓN
Si P(x, y) y P'(x', y') son dos puntos homòlogos en una traslaciòn de vector u(a, b), entonces se verifica:
x' = x + a y y' = y + b (Ecuaciones de traslaciòn).
Ejemplo: Dado el punto A(-2, 7) y el vector de traslaciòn u(5, -3), encontrar la coordenada del punto transformado A'(x', y'):
x' = -2 + 5 = 3
y' = 7 + (-3) = 4
Luego la coordenada del punto es A'(3, 4).
ROTACIÒN
Una rotaciòn de centro o y àngulo θ transforma un punto P(x, y) del plano en otro P'(x', y') del mismo plano tal que:
R(0, θ):(x, y) = (x', y') = (xcosθ - ysenθ, xsenθ + ycosθ).
Para determinar las coordenadas de un punto que se rota en 900 con respecto al origen, R(0,900) ,se debe escribir en la abscisa el opuesto de la ordenada del punto original y en la ordenada, la abscisa del punto sin rotar.
Ejemplo:Si se tiene el triàngulo de vèrtices A(2, 1), B(5, 1) y C(2, 4),¿Cuales son las coordenadas de los vèrtices del triàngulo luego de rotarlo 900 con respecto al origen?
R(0,900)A = R(0,900)(2, 1) = (-1, 2) = A'
R(0,900)B = R(0,900)(5, 1) = (-1, 5) = B' R(0,900)C = R(0,900)(2, 4) = (-4, 2) = C'
